Đường trực tiếp vuông góc với mặt phẳng

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Đường thẳng d được Điện thoại tư vấn là vuông góc cùng với mặt phẳng (α) giả dụ d vuông góc với đa số mặt đường trực tiếp nằm trong (α).

Bạn đang xem: Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có lời giải

Lúc đó ta còn nói (α) vuông góc cùng với d với kí hiệu d

*
(α) hoặc (α)
*
d.

II. ĐIỂU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Nếu đường thẳng d vuông góc cùng với hai đường thẳng giảm nhau nằm trong khía cạnh phẳng (α) thì d vuông góc cùng với (α).


III. TÍNH CHẤT

1. Có duy nhất một khía cạnh phẳng đi qua 1 điểm đến trước và vuông góc với 1 mặt đường thẳng mang đến trước.

2. Có độc nhất vô nhị một đường thẳng đi qua một điểm mang đến trước với vuông góc với 1 mặt phẳng mang đến trước.

IVSỰ LIÊN QUAN GIỮA QUAN HỆ VUÔNG GÓC VÀ QUAN HỆ SONG SONG

1. a) Cho hai đường trực tiếp tuy vậy song. Mặt phẳng như thế nào vuông góc với con đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường trực tiếp kia.

b) Hai đường thẳng riêng biệt cùng vuông góc với cùng một khía cạnh phẳng thì tuy nhiên tuy nhiên cùng nhau.

2. a) Cho nhì phương diện phẳng tuy vậy song. Đường trực tiếp làm sao vuông góc với khía cạnh phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai phương diện phẳng khác nhau cùng vuông góc với cùng một con đường trực tiếp thì song tuy vậy với nhau.

3. a) Cho đường thẳng a và khía cạnh phẳng (α) song tuy nhiên cùng nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với

b) Nếu một đường trực tiếp cùng một khía cạnh phẳng (không cất đường thẳng đó) thuộc vuông góc với cùng một con đường trực tiếp không giống thì bọn chúng tuy nhiên song cùng nhau.

V. PHÉPhường CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỊNH LÍ BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC

1. Định nghĩa. Cho đường trực tiếp d vuông góc với khía cạnh phẳng (α). Phnghiền chiếu song tuy vậy theo phương d lên khía cạnh phẳng (α) được Call là phxay chiếu vuông góc lên khía cạnh phẳng (α).

2. Định lí cha đường vuông góc. Cho đường thẳng a bên trong khía cạnh phẳng (α) cùng b là đường trực tiếp ko trực thuộc (α) mặt khác ko vuông góc với (α). call b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α). khi đó a vuông góc với b lúc và chỉ còn Khi a vuông góc cùng với b’

3. Góc giữa con đường trực tiếp cùng phương diện phẳng

Cho đường trực tiếp d và mặt phẳng (α). Ta bao gồm khái niệm :

Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta bảo rằng góc thân con đường thẳng d với phương diện phẳng (α) bởi 90°.Nếu mặt đường trực tiếp d ko vuông góc cùng với phương diện phẳng (α) thì góc thân d với hình chiếu d’ của nó bên trên (à) được điện thoại tư vấn là góc giữa mặt đường thẳng d với phương diện phẳng (α).

Lưu ý rằng góc giữa mặt đường trực tiếp với khía cạnh phẳng không quá quá 90°.

B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Vấn đề 1

Chứng minc đưòng thẳng vuông góc với khía cạnh phẳng

1. Pmùi hương pháp giải

Muốn chứng tỏ đường thẳng a vuông góc cùng với mặt phẳng (α) fan ta hay được sử dụng một trong các nhì biện pháp sau đây :

Chứng minch con đường trực tiếp a vuông góc với hai tuyến đường thẳng cắt nhau nằm vào (α).Chứng minh mặt đường thẳng a tuy vậy tuy nhiên với mặt đường trực tiếp b cơ mà b vuông góc với (α).

2. Ví dụ

lấy một ví dụ 1. Hình chóp S.ABCD gồm đáy là hình vuông vắn ABCD trung tâm O cùng tất cả cạnh SA vuông góc với phương diện phẳng (ABCD). Gọi H, I vầK theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC cùng SD.

a) Chứng minh BC

*
(SAB), CD
*
(SAD) và BD
*
(SAC).

b) Chứng minch SC 

*
(ẠHK) và điểm I trực thuộc (AHK).

c) Chứng minh HK

*
(SAC), trường đoản cú kia suy ra HK
*
AI.

Giải

a) BC 

*
AB bởi đáy ABCD là hình vuông (h.3.24)

BC 

*
SA do SA
*
(ABCD) với BC thuộc (ABCD).

Do kia BC

*
(SAB) vì chưng BC vuông góc với hai tuyến đường trực tiếp cắt nhau trong (SAB).

Lập luận giống như ta tất cả CD

*
AD cùng CD
*
SA buộc phải CD
*
(SAD).

Ta có BD

*
AC bởi lòng ABCD là hình vuông và BD
*
SA đề nghị BD
*
(SAC). 

b) BC

*
(SAB) mà AH ⊂ (,SAB) buộc phải BC
*
AH với theo mang thiết SB
*
AH ta suy ra AH
*
(SBC).

Vì SC ⊂ (SBC) đề nghị AH 

*
SC.

Lập luận tương tự ta chứng tỏ được AK

*
SC. Hai đường trực tiếp AH, AK cắt nhau cùng cùng vuông góc cùng với SC phải bọn chúng bên trong khía cạnh phẳng trải qua điểm A và vuông góc cùng với SC. Vậy SC
*
(AHK). Ta tất cả AI ⊂ (.AHK) vì nó trải qua điểm A và cùng vuông góc với SC.

Hai tam giác vuông SAB với SAD cân nhau vì chưng chúng gồm cạnh SA chung cùng AB AD (c.g.c). Do đó SB = SD, SH = SK phải HK // BD.

Vì BD

*
(SAC) đề nghị HK (SAC) cùng bởi AI c= (SAC) phải HK
*
AI.

Ví dụ 2. Hình chóp S.ABCD có lòng là hình thoi ABCD tâm O cùng bao gồm SA = SC, SB = SD.

a) Chứng minch so vuông góc cùng với khía cạnh phẳng (ABCD).

b) Call I, K theo lần lượt là trung điểm của những cạnh BA, BC.

Chứng minh rằng IK

*
(SBD) với IK
*
SD.

Giải

a) O là trung ương hình thoi ABCD yêu cầu O là trung điểm của đoạn AC (h.3.25). Tam giác SAC bao gồm SA = SC yêu cầu so

*
ÁC. Chứng minh tựa như ta bao gồm SO
*
BD. Từ kia ta suy ra SO
*
(ABCD).

b) Vì đáy ABCD là hình thoi bắt buộc AC

*
BD

Mặt không giống ta gồm AC

*
SO. Do kia AC
*
(SBD). Ta bao gồm IK là con đường vừa đủ của tam giác BAC phải IK // AC mà AC
*
(SBD) cần IK
*
(SBD).

Ta lại sở hữu SD phía bên trong khía cạnh phẳng (SBD) yêu cầu IK

*
SD.

Vấn đề 2

Chứng minc hai đường trực tiếp vuông góc cùng nhau bằng cách chứng tỏ con đường trực tiếp nàỵ vuông góc cùng với mặt phẳng đựng đường trực tiếp kia

1. Pmùi hương pháp giảiMuốn chứng tỏ đường trực tiếp a vuông góc cùng với mặt đường trực tiếp b, ta kiếm tìm khía cạnh phẳng (β) chứa con đường trực tiếp b làm sao để cho bài toán chứng tỏ a
*
(β) dễ dàng triển khai.Sử dụng định lí cha đường vuông góc.2. Ví dụ

lấy ví dụ như 1. Cho tứ diện phần đông ABCD. Chứng minh những cặp cạnh đối lập của tứ diện này vuông góc với nhau từng song một.

Giải

Giả sử ta nên minh chứng AB

*
CD.

Hotline I là trung điểm của cạnh AB (h3.26). Ta tất cả :

Do kia AB

*
CD bởi vì CD phía bên trong mặt phẳng (CID).

Bằng lập luận giống như ta chứng tỏ được BC

*
AD với AC
*
BD.

Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC gồm cha cạnh OA, OB, OC song một vuông góc cùng nhau. Kẻ OH vuông góc cùng với phương diện phẳng (ABC) tại H. Chứng minh :

a) OA 

*
BC, OB 
*
CA và OC 
*
AB

b) H là trực trung tâm của tam giác ABC;

Giải

⇒ OA 

*
(OBC) ⇒ OA 
*
BC (h.3.27).

Tương tự ta minh chứng

OB

*
(OCA) ⇒ OB
*
CA

OC

*
(OAB) ⇒ OC
*
AB.b) Vì OH 
*
(ABC) yêu cầu OH
*
BC và OA
*
BC

⇒ BC

*
(OAH) ⇒ BC
*
AH. (1)

Chứng minh tương tự ta gồm AC

*
(OBH) ⇒ AC
*
BH. (2)Từ (1) và (2) ta suy ra H là trực tâm của tam giác ABC.

điện thoại tư vấn K là giao điểm của AH và Trong tam giác AOK vuông trên O, ta gồm OH là đường cao. Dựa vào hệ thức lượng trong tam giác vuông của hình học phẳng ta gồm :

Vì BC vuông góc vói phương diện phẳng (OAH) cần BC _L OK. Do đố vào tam giác OBC vuông tại o cùng với con đường cao OK ta tất cả :

lấy ví dụ như 3. Hình chóp S.ABCD tất cả đáy là hình chữ nhật ABCD với có lân cận SA vuông góc với phương diện phẳng lòng. Chứng minch các mặt mặt của hình chóp đã cho là đầy đủ tam giác vuông.

Giải

SA

*
AB với SA
*
AD (h.3.28).

Vậy các tam giác SAB cùng SAD là các tam giác vuông trên A.

Vậy tam giác SDC vuông trên D cùng tam giác SBC vuông trên B.

Crúc say mê. Muốn minh chứng tam giác SDC vuông trên D ta có thể áp dụng định lí bố đường vuông góc cùng lập luận nlỗi sau

Đường thẳng SD bao gồm hình chiếu vuông góc cùng bề mặt phẳng (ABCD) là AD. Theo định lí tía mặt đường vuông góc bởi vì CD

*
AD buộc phải CD
*
SD và ta có tam giác SDC vuông tại D.

Tương từ bỏ, ta minh chứng được CB

*
SB với ta tất cả tam giác SBC vuông trên B.

C. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

3.16. Một đoạn thẳng AB không vuông góc với mặt phẳng (α) giảm khía cạnh phẳng này trên trung điểm O của đoạn thẳng đó. Các mặt đường trực tiếp vuông góc cùng với (α) qua A với B lần lượt giảm mặt phẳng (α) trên A’ cùng B’.

Chứng minh tía điểm A’, O, B’ trực tiếp sản phẩm với AA’ = BB’.

⇒ Xem đáp án trên trên đây.

3.17. Cho tam giác call (α) là khía cạnh phẳng vuông góc với con đường thẳng CA trên A và (β) là phương diện phẳng vuông góc cùng với con đường thẳng CB tại B. Chứng minh rằng nhị phương diện phẳng (α) với (β) giảm nhau với giao tuyến đường d của chúng vuông góc với phương diện phẳng (ABC).

⇒ Xem giải đáp trên đây.

3.18. Cho hình lăng trụ tam giác A’B’C’. hotline H là trực chổ chính giữa của tam giác ABC cùng biết rằng A’H vuông góc với phương diện phẳng (ABC). Chứng minc rằng :

a )AA’

*
BC và lAA’
*
B’C’.

b) hotline MM’ là giao tuyến đường của phương diện phẳng (ẠHA’) với mặt mặt BCC’B’ trong các số đó M ∈ BC với M’ ∈ B’C’. Chứng minh rằng tứ đọng giác BCC’B’ là hình chữ nhật và MM’ là mặt đường cao của hình chữ nhật kia.

⇒ Xem đáp án trên trên đây.

3.19. Hình chóp tam giác ABC bao gồm đáy ABC là tam giác vuông tại A cùng gồm canh mặt SA vuông góc với khía cạnh phẳng lòng là (ABC). hotline D là điểm đối xứng của điểm B qua trung điểm o của cạnh AC. Chứng minh rằng CD

*
CA cùng CD
*
(SCA).

⇒ Xem đáp án tại đây.

3.đôi mươi. Hai tam giác cân nặng ABC với DBC phía trong nhì khía cạnh phẳng không giống nhau bao gồm phổ biến cạnh lòng BC tạo cho tđọng diện hotline I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh BC

*
AD

b) Điện thoại tư vấn AH là mặt đường cao của tam giác ADI

Chứng minh rằng AH vuông góc vói khía cạnh phẳng (BCD).

⇒ Xem đáp án trên trên đây.

Xem thêm: Mở Ổ Đĩa Laptop Bằng Bàn Phím, ” Bỏ Túi ” Cách Mở Ổ Đĩa Laptop

3.21. Chứng minch rằng tập hòa hợp hồ hết điểm cách phần đông tía đỉnh của tam giác ABC là đường trực tiếp d vuông góc với khía cạnh phẳng (ABC) trên trọng điểm O của mặt đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC đó.