Bài viết này mikigame.vn reviews mang lại bạn đọc lý thuyết và hạng của ma trận kèm các ví dụ với phân các loại những dạng toán thù trường đoản cú cơ bản mang lại nâng cấp về hạng của ma trận:

*

1. Tìm hạng của ma trận mang lại trước

ví dụ như 1: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&0& - 1&2& - 1\ 2& - 1&3&1&3\ 3&2&0& - 1&2\ 2&3& - 4&0& - 2 endarray ight).$

*

lấy ví dụ 2: Cho $x,y,z$ là ba nghiệm của phương trình $t^3-2019t+4=0,$ kiếm tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c x&y&z\ y&z&x\ z&x&y endarray ight).$

Giải. Theo vi – ét gồm $x+y+z=0,xy+yz+zx=0,xyz=-4$ và

Do kia $r(A)le 2.$ Mặt khác $D_12^12=xz-y^2Rightarrow yD_12^12=xyz-y^3=-4-y^3=-2019yRightarrow D_12^12=-2019 e 0.$

Vậy $r(A)ge 2Rightarrow r(A)=2.$

Ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9\ 0&10&1&10 endarray ight)$ bởi cách thức định thức phủ quanh.

Bạn đang xem: Bài tập ma trận có lời giải

Giải. Có $D_12^12 = left| eginarray*20c 1&2\ - 1&3 endarray ight| = 5 e 0;D_123^123 = left| eginarray*20c 1&2&3\ - 1&3&0\ 2&4&1 endarray ight| = - 25 e 0;$

Kiểm tra những định thức cấp cho 4 phủ bọc định thức $D_123^123$ có

$D_1234^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 1&7&6&9 endarray ight| = 0;D_1235^1234 = left| eginarray*20c 1&2&3&4\ - 1&3&0&1\ 2&4&1&8\ 0&10&1&10 endarray ight| = 0.$

Vậy $r(A)=3.$

lấy ví dụ như 10: Tìm hạng của ma trận

Giải.

Ta xét những định thức cấp 5 phủ quanh định thức cung cấp 4 trên

Vậy $r(A)=4.$

2. Biện luận hạng của ma trận theo tmê say số

ví dụ như 1: Tìm $m$ để ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1& - 1\ 2&m + 4& - 2& - 1\ 3&m + 6& - 3&m - 3 endarray ight)$bao gồm hạng nhỏ tuyệt nhất.

*

lấy một ví dụ 2: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c m&2& - 1&3\ 2&m&1&2\ 3&1&2&0 endarray ight)$tất cả hạng nhỏ duy nhất.

*

Ví dụ 3: Tìm $a$ để hạng của ma trận sau nhỏ độc nhất vô nhị, với $A = left( eginarray*20c 3&1&4&1\ a&2&3&1\ 3& - 1&1&0\ 3&3&7&2 endarray ight).$

*

Ví dụ 4: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ m&1&2& - 1\ 3&1& - 4&2 endarray ight).$ Chứng minc rằng với tất cả $m$ thì $r(A)=3.$

Giải. Có $D_123^234 = left| eginarray*20c 2&3&4\ 1&2& - 1\ 1&4&2 endarray ight| = 15 e 0 Rightarrow r(A) = 3,forall m.$

lấy ví dụ như 5: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 2&3&1&2\ - 1&2&3&4\ - 1&9&10&m endarray ight).$

*

Ví dụ 6: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&m& - 1&2\ 2& - 1&m&5\ 1&10& - 6&1 endarray ight).$

*

lấy một ví dụ 7: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 2&1&m&3\ - 1&2&1&4\ 4&3&2&1\ - 3&4&1&2 endarray ight).$

Ví dụ 8: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận$A = left( eginarray*20c 7 - m& - 12&6\ 10& - 19 - m&10\ 12& - 24&13 - m endarray ight).$

lấy một ví dụ 9: Tìm hạng của ma trận sau

$A = left( eginarray*20c 1&2&...&n - 1&n\ n + 1&n + 2&...&n + n - 1&2n\ ...&...&...&...&...\ n^2 - 2n + 1&n^2 - 2n + 2&...&n^2 - 2n + n - 1&n^2 - n\ n^2 - n + 1&n^2 - n + 2&...&n^2 - n + n - 1&n^2 endarray ight).$

lấy một ví dụ 10: Tìm $m$ để hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 1& - 1&2&3\ - 1&1&3& - 1\ 1& - 1&7&m endarray ight)$ nhỏ tốt nhất.

lấy ví dụ 11: Biện luận theo $m$ hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight).$

Giải.

$eginarrayl det (A) = left| eginarray*20c m&2&2&2\ 2&m&2&2\ 2&2&m&2\ 2&2&2&m endarray ight| = left| eginarray*20c m + 6&2&2&2\ m + 6&m&2&2\ m + 6&2&m&2\ m + 6&2&2&m endarray ight|(c_4 + c_3 + c_2 + c_1)\ = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 1&m&2&2\ 1&2&m&2\ 1&2&2&m endarray ight| = (m + 6)left| eginarray*20c 1&2&2&2\ 0&m - 2&0&0\ 0&0&m - 2&0\ 0&0&0&m - 2 endarray ight|eginarray*20c - d1 + d_2\ - d_1 + d_3\ - d_1 + d_4 endarray = (m - 2)^3(m + 6). endarray$

Nếu $det (A) e 0Leftrightarrow m otin left 2,-6 ight\Rightarrow r(A)=4;$Nếu $m=2Rightarrow r(A)=1;$Nếu $m=-6Rightarrow r(A)=3$ (bạn đọc từ kiểm tra).

Ví dụ 12: Tìm $m$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&m&m + 1\ 2&m + 2&2m + 1&2m + 4\ 1&4 - m&m - 1&2m - 4 endarray ight)$ bao gồm hạng bằng 2.

*

lấy ví dụ như 13: Tìm số thực $a$ nhằm ma trận $A = left( eginarray*20c 2&2 - a&4&a^2\ 1&1 - a&2&0\ 3&3 - 2a&8 - a&4 endarray ight)$ tất cả hạng nhỏ bé tốt nhất.

*

Ví dụ 14. Tìm $m$ nhằm hạng của ma trận $A = left( eginarray*20c 3&m&0&3\ m&2&1&2\ 2&1& - 2&2 endarray ight)$ lớn nhất.

3. Hạng của ma trận prúc hợp

Định lí. Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n,nge 2$ với $A^*$ là ma trận phú vừa lòng của $A,$ khi ấy ta có:

$r(A)=nLeftrightarrow r(A^*)=n;$$r(A)=n-1Leftrightarrow r(A^*)=1;$$r(A)le n-2Leftrightarrow r(A^*)=0.$

Chứng minh xem bài giảng tại đây:https://mikigame.vn/khoa-hoc/xem/khoa-pro-s1-mon-toan-cao-cap-1-dai-so-tuyen-tinh-kh836547837.html

4. Dạng toán minh chứng về hạng của ma trận

Ta áp dụng các đặc thù về hạng của ma trận sau đây:

$r(A)=r(A");$$r(A+B)le r(A)+r(B)$ cùng với $A,B$ là nhì ma trận cùng cấp;$r(AB)le r(A);r(AB)le r(B)$ với $A,B$ là nhì ma trận bất kể làm thế nào cho $AB$ tồn tại;$r(A)+r(B)le r(AB)+n$ cùng với $A,B$ là nhì ma trận vuông cùng cấp cho.

Ví dụ 1: Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ thoả mãn $A^2=E.$ Chứng minh rằng $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Giải. Áp dụng bất đẳng thức về hạng của ma trện có:

$eginarrayl r(E - A) + r(E + A) ge r(E - A + E + A) = r(2E) = n\ r(E - A) + r(E + A) le r((E - A)(E + A)) + n = r(E^2 - A^2) + n = r(O) + n = n endarray$

Vậy $r(E+A)+r(E-A)=n.$

Ví dụ 2: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ bao gồm $a_ij=0,forall i=j;a_ijin left 1,2019 ight,forall i e j.$ Chứng minh rằng $r(A)ge n-1.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=1,forall i,j=1,2,..,n$ lúc ấy $C=A-B=(a_ij-b_ij)_n imes n=(c_ij)_n imes n$ cùng với

Do kia $det (C)-(-1)^n$ chia không còn mang lại 2018, tức $det (C) e 0Rightarrow r(C)=n.$

Mặt không giống $C=A-BRightarrow r(C)=r(A-B)le r(A)+r(-B)=r(A)+1Rightarrow r(A)ge n-1.$

ví dụ như 3: Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ tất cả $a_ij=i+j,forall i,j=1,2,...,n.$ Tìm hạng của ma trận $A.$

Giải. Xét $B=(b_ij)_n imes n,b_ij=i,forall i=1,2,...,n;C=(c_ij)_n imes n,c_ij=j,forall j=1,2,...,n.$

Ta có $r(B)=r(C)=1$ và $A=B+CRightarrow r(A)=r(B+C)le r(B)+r(C)=2.$

Mặt khác $D_12^12 = left| eginarray*20c 2&3\ 3&4 endarray ight| = - 1 e 0 Rightarrow r(A) ge 2.$ Vậy $r(A)=2.$

Lúc Này mikigame.vn tạo ra 2 khoá học Tân oán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học kân hận ngành Kinc tế của toàn bộ những trường:

Khoá học hỗ trợ khá đầy đủ kiến thức và kỹ năng và cách thức giải bài tập các dạng toán đi kèm theo từng bài học kinh nghiệm. Hệ thống bài xích tập tập luyện dạng Tự luận gồm lời giải chi tiết tại trang web sẽ giúp học tập viên học tập nkhô hanh cùng áp dụng chắc chắn là kiến thức và kỹ năng. Mục tiêu của khoá học tập góp học tập viên đạt điểm A thi cuối kì những học tập phần Tân oán thời thượng 1 cùng Toán cao cấp 2 trong những trường kinh tế.

Xem thêm:
Bài 632 - Câu Hỏi Của Mai Ngọc Anh

Sinh viên những ngôi trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học tập được bộ combo này:

- ĐH Kinh Tế Quốc Dân

- ĐH Ngoại Thương

- ĐH Thương thơm Mại

- Học viện Tài Chính

- Học viện ngân hàng

- ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội

với các ngôi trường ĐH, ngành kinh tế tài chính của các ngôi trường ĐH không giống bên trên mọi toàn quốc...