Mời chúng ta cùng tham khảo ngôn từ bài bác giảng Bài 1: Hệ phương trình tuyến đường tính tiếp sau đây nhằm mày mò về dạng màn trình diễn ma trận, giải hệ phương thơm trình tuyến tính bởi cách thức Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ pmùi hương trình đường tính thuần tuyệt nhất,...

Bạn đang xem: Cách giải hệ phương trình tuyến tính bằng ma trận


1. Dạng màn biểu diễn ma trận

2. Giải hệ phương thơm trình tuyến đường tính bởi phương pháp Gauss

3. Định lý Cronecker - Capelli

4. Hệ Cramer

5. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất


Ví dụ: Xét hệ 3 pmùi hương trình con đường tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)

Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))

Khi kia, hệ pmùi hương trình trên rất có thể viết lại dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong trường đúng theo tổng quát, ta xét hệ m phương trình tuyến đường tính nẩn nhỏng sau:

(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)

Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). Lúc đó, hệ pmùi hương trình bên trên có thể viết lại dưới dạng ma trận là AX = B.

Ma trận(A_m x n) Call là ma trận hệ sổ của hệ phương thơm trình.Ma trận(overline A = (A|B)) hotline là ma trận thông số mở rộng của hệ pmùi hương trình.X gọi là vectơ ẩn.

2. Giải hệ pmùi hương trình tuyến tính bởi cách thức Gauss.


Một phương pháp thường dùng để giải hệ pmùi hương trình đường tính là phương pháp Gauss, chuyển ma trận hệ số mở rộng (overline A ) về dạng bậc thang tốt lan can thu gọn gàng, nhờ những phép chuyển đổi sơ cung cấp trên cái.

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))

Giải:

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là :

Ta có hệ phương thơm trình (I) tương đương:

(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)

Cho(x_3 = altrộn in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - altrộn ,x_2 = 5 - alpha ,x_3 = altrộn )

Như rứa, hệ phương thơm trình có rất nhiều nghiệm với nghiệm tổng thể là:

(X = (4 - alpha ;5 - alpha ;altrộn );alpha in R)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))

Giải

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là:

Ta có hệ phương thơm trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)

Vậy hệ có nghiệm độc nhất vô nhị X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))

Giải: Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta bao gồm hệ phương trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)

Vậy hệ pmùi hương trình vô nghiệm


3. Định lý Cronecker - Capelli


Xét hệ phương trình tuyến tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)

Ta có:

Hệ tất cả nghiệm duy nhất(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = n)Hệ gồm rất nhiều nghiệm(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = k Khi đó, hệ phương thơm trình gồm k ẩn thiết yếu ứng với k phần tử đứng vị trí số 1 và n - k ẩn tự do, được đưa quý phái vế đề nghị.Hệ vô nghiệm( Leftrightarrow R(A)

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))

Ma trận thông số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn

Vậy hệ gồm nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))

Giải:Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ có rất nhiều nghiệm với 2 ẩn bao gồm ứng với 2 thành phần dẫn đầu là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn tự do x3 ta bao gồm hệ phương trình gồm vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là:(X = left( 1 - fracalpha 2; - 2 + fracalpha 2;altrộn ight),với,alpha in R)


4. Hệ Cramer


Hệ pmùi hương trình tuyến đường tính AX = B được Điện thoại tư vấn là hệ Cramer nếu A là ma trận vuông ko suy thay đổi , nghĩa là(left| A ight| e 0)

khi kia, ta bao gồm nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)

Nếu cấp cho của ma trận A khá béo thì câu hỏi tìm(A^-1) tương thay đổi phức tạp. ngoài ra, bao gồm Lúc ta bỏ ra buộc phải tra cứu một vài ẩn (x_j) cố kỉnh bởi vì toàn bộ các ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Từ kia, người ta đưa ra công thúc tính từng ẩn (x_j) phụ thuộc vào công thức (X = A^-1B) nhỏng sau :

(x_j = fracD_jD)

Trong số đó (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận đã có được từ A bằng phương pháp cố cột j vị vế phải (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)

Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))


5. Hệ pmùi hương trình đường tính thuần nhất.


Hệ phương trình tuyến đường tính AX = 0 hotline là hệ thuần độc nhất. Ngoài các đặc điểm thông thường của hệ AX = B, hệ thuần tốt nhất AX = 0 còn tồn tại các đặc thù riêng nhỏng sau :

Hệ luôn luôn luôn luôn tất cả nghiệm bình bình X = 0 (không có ngôi trường hòa hợp hệ vô nghiệm)Nếu A là ma trận vuông, không suy biến chuyển thì hệ có nghiệm nhất (X = A^-10 = 0), đó là nghiệm bình bình.Nếu hệ có vô vàn nghiệm thì tập nghiệm là 1 trong những không khí bé của ko gian(R^n) (với n là số ẩn). Một cửa hàng của không khí nghiệm được Điện thoại tư vấn là một trong những hệ nghiệm cơ phiên bản.

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)

Đây là hệ Cramer, yêu cầu hệ tất cả nghiệm duy nhất X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Hệ bao gồm rất nhiều nghiệm cùng với nghiệm tổng thể là:(X = ( - altrộn ; - 2altrộn ;alpha ) = alpha ( - 1; - 2;1),altrộn in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (-1;-2;1). Số chiều của không khí nghiệm là một trong những.

Xem thêm: Chuyện Cổ Tích Cho Bé 4 Tuổi Nghe Mỗi Tối, Truyện Cho Bé 4 Tuổi

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm bao quát là:

(X = (alpha + 2eta ;altrộn + eta ;altrộn ;eta ) = altrộn (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,altrộn ,eta in R)

Một hệ nghiệm cơ phiên bản là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không gian nghiệm là 2.